Initial Value Problem

定义 Definition

初值问题：在微分方程中，除了给出方程本身，还指定未知函数在某个起始点（如 (t=t_0)）的取值（以及有时的导数值），从而确定（或尝试确定）一个满足这些条件的解。常见形式如：给定
[ y' = f(t,y),\quad y(t_0)=y_0 ]
（也可能是高阶方程配多条初始条件）。注：与之相对的是边值问题（在区间两端给条件）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ɪˈnɪʃəl ˈvæljuː ˈprɑːbləm/

例句 Examples

We solved the initial value problem to find (y(t)).
我们通过求解初值问题来得到 (y(t))。

For a nonlinear differential equation, the initial value problem may have a unique solution only under certain conditions.
对一个非线性微分方程而言，初值问题只有在满足某些条件时才可能存在唯一解。

词源 Etymology

该术语由三部分构成：initial（起始的）+ value（数值、取值）+ problem（问题）。在数学语境中，initial value 指“在起点处函数（或状态）的取值”，把“方程 + 起点取值条件”作为一个整体来研究，便形成 initial value problem（初值问题）。这一表述在微分方程与动力系统的发展中逐渐固定下来，用于强调“从初始状态出发预测后续演化”。

相关词 Related Words

• Boundary Value Problem
• Differential Equation
• Ordinary Differential Equation
• Partial Differential Equation
• Initial Condition
• Existence And Uniqueness
• Cauchy Problem
• Trajectory

文学/经典教材中的用例 Notable Works

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima）
• Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra（Hirsch & Smale）
• Ordinary Differential Equations（Coddington）
• Nonlinear Dynamics and Chaos（Steven H. Strogatz）